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MATHE - Aufgabenberater

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Ganze (negative) Zahlen

Der bekannteste Zahlenstrahl ist die Skala auf einem Thermometer.

Eine ganze Zahl ( ...(-10);...(-3);-(2);(-1); (+0); (+1);( +)2;( +)3; ...(+10);... ) kann man sich als eine Verschiebung (oder einen entsprechenden "Pfeil ") vom Nullpunkt aus um eine Anzahl von Einheiten auf dem Zahlenstrahl Z nach links (-) oder nach rechts (+) vorstellen.

Addition von Verschiebungen "+"

"+" bedeutet, dass zwei Verschiebungen hintereinander ausgeführt werden. Dabei wird der Anfang der zweiten Verschiebung an die Spitze der ersten angefügt. Die erste Verschiebung beginnt im Nullpunkt. Das Ergebnis ist die so genannte Ersatzverschiebung (der Pfeil) vom Nullpunkt zur Spitze des zweiten Pfeiles. (Man hätte ja auch gleich dahin schieben können!!)

Bedeutung von "-":

z.B. (+5) heisst Gegenzahl zu (-5) und umgekehrt.

Sie bezeichnet eine genau so grosse Verschiebung, aber in entgegengesetzter Richtung.

"-" hat die Bedeutung, dass bei der Verschiebungsaddition als zweite Zahl nicht die angegebene,

sondern die Gegenzahl genommen wird.

(+4) "-"(+5) = (+4) "+" (-5) = (-1) (-2)"-"(-6) = (-2)"+"(+6)= (+4) (+9)"-"(+5)= (+9)"+"(-5)=(+4) (-3)"-"(+2)=(-3)"+"(-2)=(-5)

In den Büchern steht das dann aber etwas kürzer.

Hier die Übersetzungshilfe (Wenn vorndran nichts steht,

muss man sich immer ein + denken.):

4 + 3 = wirs zu (+4) "+" (+3) = 4-3= wird zu (+4)"+"(-3)= -5-2= wird zu (-5)"+"(-2)= -1-8= wird zu (-1)"+"(-8)

Beachte: -(-4) = +(+4)= 4; -(+5)= +(-5) = -5; +(+7) = 7; +(-2)= -2

Das kennt jeder bestimmt als PLUS mal PLUS gibt PLUS usw.,

bzw: ungleiche Vorzeichen ergeben Plus, gleiche ein MINUS im Ergebnis.

 

Bei grösseren Zahlen ( = längeren Pfeilen!!) genügt es, sich eine kleine Pfeilskizze zu machen. Man muss nur auf die Richtung achten und darauf, welcher Pfeil länger ist. Dann kann schon mal mit dem Vorzeichen nichts schief gehen.

(-345) "+"

(+478)

= (+(478-345)

Das Ergebnis muss schon mal (+ ...) sein,

weil der Ergebnispfeil nach rechts zeigt!

Den Wert erhält man durch Subtrahieren

des kleineren Wertes vom grösseren : 478 -345

(+21) "+"

(-129)

=(-(129-21)

Der Ergebnispfeil zeigt nach links,

also kommt vor das Ergebnis ein - .

(-32)"+"

(-67)

=(-(32+67)

aus der Skizze folgt anschaulich,

dass hier die "Längen" addiert werden müssen

((+3456) "+"

(-2345)

=(+(3456-2345)

+, da der Ergebnispfeil nach rechts zeigt!

Primzahlen

Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind.

Für den Unterricht genügen folgende: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...
wer noch mehr will -
BITTESEHR!

Bei der Bruchrechnung ist es z. B. erforderlich, eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, um eleganter rechnen zu können. (z.B. = 36 = 2 x 2x 3 x 3! )

Dazu gibt es einige Tips:

1)Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar, hat also den Primfaktor 2. (34 = 2x 17)

2)Jede Zahl, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar.

( Bsp:753 hat die Quersumme 7+5+3 = 15. Diese ist durch 3 teilbar, also auch 753 = 3 x 251)

3)Jede Zahl mit einer 5 am Ende ist durch 5 teilbar, hat also den Primfaktor 5. (65 = 5 x 13)

Beispiel: 6930 soll zerlegt werden!

6930 ist gerade, also durch 2 teilbar: 6930: 2 =3465

3465 hat am Ende eine 5, ist also durch 5 teilbar: 3465 : 5 =693

693 hat die Quersumme 6+9+3 = 18, die durch 3 teilbar ist. Also ist auch 693 durch 3 teilbar: 693: 3=231

231 hat die Quersumme 6 - siehe eben! ---> 231:3 =77

Jetzt heisst es weiter probieren!Fange mit den kleinsten Primzahlen an!

77 :7 =11! Mehr geht nicht, da 11 selbst eine Primzahl ist.

Wenn wir die Rechnungen nun zurückverfolgen erhalten wir die sogenannte Primfaktorzerlegung

6930 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7 x 11