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MATHE - Aufgabenberater

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Polynome

Beispiele(ax^2 entspricht a*x² ; ax^3 dem Term a*x³ usw.; x^0 =1; x^1 =x)

Terme dieser Form heissen Polynome. Die höchste vorkommende Potenz steht am Anfang und wir Grad des Polynoms genannt. a,b,c heissen die Koeffizienten und können jede Zahl bedeuten - auch die 0: Dann fällt der Summand eben weg.

Polynomdivision:

Die PD funktioniert wie jede normale schriftliche Division auch.z.B. 27361: 315:

Dabei ist darauf zu achten, dass auch "Nullen" und "Einsen"mitnotiert werden: 3x^4-6x^2+x-3 = 3x^4+0x^3-6x^2+1x-3

Beispiel:

(3x^4-6x^2+2x-4)/(2x^2-1x-8) (= Zählerpolynom/Nennerpolynom =Z/N)

1.Schritt: Der erste Term wir durch den ersten Term hinter dem ":"-Zeichen geteilt: (3x^4)/(2x^2)= (3/2)x^2

2.Schritt:Das Ergebnis wird als erstes hinter "=" eingetragen, mit N multiplizert und spaltengleich unter Z eingetragen.

3.Schritt: Die Terme werden nun spaltenweise addiert, nachdem der untere mit einer Klammer und einem "-" davor versehen worden ist.Die erste Summe muss dabei zu Null werden. Auf Vorzeichen achten!!!

4.Schritt: Jetzt wird der nächste Term "von oben herunter geholt" und das Spiel beginnt von vorn mit dem ersten Schritt, bis der Grad von Z kleiner ist als der Grad von N: ((3/2)x^3)/(2x^2) =(3/4)x usw..........

Zum Schluss wird der Rest notiert wie im Beispieil angegeben .

Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren

(x-a)*(x-b)*(x-c) = x^3 +........-abc (bitte nachrechnen!(Siehe "Grundlegendes"))

Links stehen drei sogenannte Linearfaktoren, rechts befindet sich ein Polynom 3.Grades.

(x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d) = x^4 +........+abcd (Polynom 4.Grades)

usw.

Umgekehrt lassen sich mittel Polynomdivision Polynome zurückzerlegen:

Ein Polynom 3. Grades in 3 Linearfaktoren; ein Polynom 7. Grades in 7 Linearfaktoren usw.

Alle Lösungen bis auf zwei müssen dabei allerdings "erraten" werden. Für das Gymnasium gibt es dabei in der Regel gewisse Erleichterungen. Am Beispiel eines Polynoms 4. Grades möchte ich den Vorgang skizzieren:

1.Schritt: Rate die erste Lösung. Sie ist in der Schulmathematik in der Regel eine ganze Zahl, die das so genannte absolute (x-freie) Glied teilt. Fange bei der systematischen Suche mit den kleinsten Primfaktoren an. (Wenn das Absolutglied z.B. 60 ist: +1;-1;+2;-2; +3;-3;+5;-5;+6;-6;+12;-12)

2.Schritt: Setze die Lösung als "a" in (x-a) ein und dividiere das Polynom durch (x-a).( Sei (-2) eine Lösung ,dann dividiere durch (x-(-2))=(x+2), sei x=5 eine Lösung, dann durch (x-5)!) Du erhältst ein Polynom 3. Grades.

3.Schritt: Suche für das neue Polynom eine Lösung b wie gehabt und dividiere es durch (x-b). Du erhältst ein Polynom 2. Grades,eine quadratische Gleichung.

4.Schritt: Die maximal zwei Lösungen dieser quadratischen Gleichung findest du entweder mit der p,q-Formel oder mit quadratischer Ergänzung.

Anwendung: Bestimmung von Nullstellen, Extrema und Wendestellen bei Kurvendiskussionen: P(x)=0.

Polynome n-ten Grades brauchen nicht unbedingt n Lösungen haben. Polynome eines geraden Grades brauchen gar keine Lösungen zu haben und lassen sich somit auch nicht in Linearfaktoren zerlegen! Siehe unten: Graphen von Polynomen!

Graphen von Polynomen

auch: Bilder von ganzrationalen Funktionen

Wer wahllos Koeffizienten für die Funktionsgleichung eines Polynoms auswählt und diese dann in ein geeignetes Tool eingibt, wird anhand der Graphen vorab wichtige Informationen erkennen können . Teilweise sehen diese aus wie eine Berg- und Talstrecke, teilweise wie eine wellige Rodelbahn und teilweise wie eine Kombination aus beidem. Es gibt aber gewisse Übereinstimmungen, aus deren Kenntnis sich schon beim Anblick der Funktionsgleichung hilfreiche Vorüberlegungen ergeben:

Einige Graphen ganzrationaler Funktionen :

Sei Grad(P) = n , dann sind mehr oder weniger deutlich (n-1) SCHWÜNGE vorhanden. (evtl. Bild vergrössern oder verkleinern)

Ich stelle mir das wie Kurven auf einer Strasse vor.Diese Kurven können an Nullstellen (N) die x-Achse schneiden oder berühren und Scheitelpunkte (S) haben. Bei einer Achterbahn wären dies die höchsten und die tiefsten Punkte. (in der Mathematik - Sprache Maxima und Minima oder auch Extremstellen genannt). Ebenso gibt es Punkte, an denen ich vor jeder Kurve das Lenkrad neu einschlagen muss - in der Mathematik nennt man die Wendepunkte (W).

Gebrochen rationale Funktionen

Wie kommen "Löcher" und "Trichter" in die Graphen?

Gebrochen rationale Funktionen haben die Form f(x) = P(x)/N(x), wobei Z und N Polynome sind.

Beispiel: f(x) = (-3+x+5x²-3x³)/(6x+5)

Da bekanntlich eine Division durch NULL nicht gestattet ist, haben diese Funktionen genau dort eine Definitionslücke, wo N(x) = 0 ist. (Im Beispiel an x = -5/6) Dort kann man einen lokalen Grenzwert sowohl rechtsseitig als auch linksseitig zu bestimmen versuchen - zur Not oder bei Stromausfall mit einer Wertetabelle.(links: x= -1,21;-1,201; -1,2001;... rewchts: x=-1,19; -1,199; -1,1999...) Dabei gilt: Sind einer von beiden oder beide nicht existent ("er strebt gegen plus oder minus unendlich"), heisst die Stelle Polstelle.Es entstehen ein oder zwei Halbtrichter "nach oben und/oder/ nach unten" oder Volltrichter "nach oben oder unten". Haben links- und rechtsseitiger Grenzwert denselben Wert, spricht man von einer "behebbaren" Lücke : Der Graph "hat ein Loch".

Das wird verständlich, wenn man den umgekehrten Weg nimmt und "Löcher in Graphen schießt!"

f(x) = 2x +1 ist zweifellos eine tadellose Gerade. Erweitere ich aber mit (x-3)(x+2), bekommt der Graph der neuen Funktion

l(x) = [f(x)*(x-3)*(x+2)]/[(x-3)*(x+2)] bei gleichem Verlauf zwei Löcher bei x = 3 und x = -2. Das lässt sich beliebig zu einem Lochstreifen erweitern. "Trichter" an der Stelle x =a erhält man, indem man einen Bruch addiert.

Berechnung von Grenzwerten

Hier ein allgemeines Beispiel für lim (x--> 00):

1.Schritt: In Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz ausklammern und danach gegenseitig kürzen

=


Wenn 1/x --> 0 für x--> oo gilt, dann gilt das erst recht für alle 1/x^n.
Folglich streben alle Brüche in den Klammern gegen 0, und es bleibt a/e als "Grenzwert" übrig.

Hierbei galt: Grad des Zählers = Grad des Nenners.
Dies ist einer von drei möglichen Fällen.
Die beiden anderen:
Ist im Zähler die höchste Potenz (Grad genannt) höher als im Nenner, bleibt oben ein x^(irgendwas) stehen. Der Ausdruck hat demnach keinen Grenzwert, sondern strebt gegen +oo oder - oo.(weil in der Klammer "+1" oder "-1" rauskommt)
Ist der Grad des Nenners grösser, bleibt oben die 1 und unten ein
x^(irgendwas) stehen. Damit ist der Grenzwert nach deinen obigen Einsichten O.

Grenzwert an einer Lücke:
Beispiel -rechtsseitiger GW:




(Beim linksseitigen GW muss es jeweils (x-h) lauten!)

An der Stelle x = 2 bedeutet das nach entsprechender Auflösung:





Wenn sich jetzt bei einer dieser gebrochen rationalen Funktionen nicht h oben ausklammern und vollständig gegen das untere h wegkürzen lässt, war die Rechnung falsch. So ergibt sich als Grenzwert 1.

Symmetrie - Schnellcheck

Allgemein gilt

Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x)

Punktsymmetrie zu (0/0): f (-x) = -f(x)

Bei den ganzrationalen Funktionen gibt es den Schnellcheck:

NUR ungerade Potenzen --> Punktsymmetrie zu (0|0); NUR gerade Potenzen --> Achsensymmetrie zur y- Achse

GEMISCHTE Potenzen --> KEINE Symmetrie.

Das lässt sich leicht auf gebrochen rationale Funktionen ausweiten.(Nachrechnen -->z.B. (-1) ausklammern!)

u(x) habe NUR ungerade Potenzen, g(x) NUR gerade:

Gebrochen rationale Funktionen der Form u(x)/u(x) oder g(x)/g(x) sind achsensymmetrisch zur y-Achse.

Gebrochen rationale Funktionen der Form u(x)/g(x) oder g(x)/u(x) sind punktsymmetrisch zu (0|0).

Treten irgendwo gemischte Potenzen auf, dann wars das schon ...