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MATHE - Aufgabenberater

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BRUCHRECHNUNG

Ein Bruch hat die Form Z/N. Dabei zählt Z die zur Rechnung benötigten Anteile des Kuchens, N die Anzahl der maximal vorhandenen Anteile. Jede Rechenmenge ist als Kuchen vorstellbar.

Die Beispiele 4) - 6) veranschaulichen, dass 1/3 -Kuchen mehr ist (">") als 1/4 davon und dieses 1/4 wieder mehr als 1/6. Nun könnte man noch andere Zusammenfassungen betrachten und folgendes erfahren: 1/1 >1/2>1/3>1/4>176>1/8>1/12> 1/24.

Dieses 1/24 könnte z. B. wieder zu 2/48 halbiert werden oder zu 3/72 dreigeteilt, oder zu 4/96 viergeteilt usw. Dabei gilt: Wenn ein Teil in z.B. 4 Stücke aufgeteilt wird, hat man nacher 4 Stücke, die wieder 1/4 so groß sind wie das ursprüngliche. Auf den ganzen Kuchen angewendet, würde das aber auch viermal so viele der kleineren Stückchen bedeuten.

In der Mathematik nennt man das "Erweitern" und multipliziert dazu Z und N mit derselben Zahl. Das Zusammenfassen von Teilchen heisst in der Mathematik "Kürzen" . Dazu wird Z und N durch dieselbe Zahl geteilt.

Vergleich von Brüchen:

(die Kuchen sollten gleich groß sein, leider krieg ich das mit dem Editor nicht ganz hin)

Das Problem: Welcher blaue Teilbereich ist der größte?

Dies ist nur durch weitere Aufteilung zu entscheiden. Ich müsste z.b. jedes Stück des ersten Kuchens in 24 gleiche Teile teilen, von denen ich jedes wiederum in 20 gleiche Teile teile. Jedes Stück des zweiten Kuchens müsste ich in 18 gleiche Teile teilen, die ich wiederum zwanzigstele. Beim dritten Kuchen würde erst gezwanzigstelt, und jedes Stück darauf geachtzehntelt. Ich hätte jedesmal dann 18 *24 * 20 = 24*18*20 = 20*18*24 = 8640 Teile der Miniminimini...-Größe 1/8460. Dann wär aber nix mehr mit Kuchen. Also rettet mich Mathe:

Grundsätzlich kann ich das genau so umrechnen, indem ich alle Kuchen auf die entsprechenden Anteile/8640 "erweitere" und diese dann vergleiche: 3888/8640 wären z.B. dann mehr oder ">" als 3699/8640, also: 9/20 > 10/24 !!

Wer eleganter sein will, sucht gemeinsame Nenner, sofern es die überhaupt gibt.dazu bedarf es der Primfaktorzerlegung:

18 = 2*3*3; 24 = 2*2*2*3 ; 20 = 2*2*5

Daraus wird der größte gemeinsame Teiler (ggT) ermittelt: 2*2*2*3*3*5 = 360

Er setzt sich zusammen aus der maximalen Anzahl gleicher Primfaktoren in den einzelnen Nennern.

Aus 18 erhalten wir 3*3, aus 24 erhalten wir 2*2*2 und aus 20 die 5.

Wir erweitern alle Brüche auf 360stel wie folgt :

360 : 18 = 20 , 7*20 = 140 --> 7/18 = 140/360

360 : 24 = 15 , 10 * 15 = 150 --> 10 /24 = 150 /360

360 : 20 = 18, 9 * 18 =162 --> 9/20 = 162/360

Dieses Verfahren muss immer angewendet werden, bevor zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden sollen. Man nennt das auch "gleichnamig machen". Auf die Multiplikation will ich vorerst ebenso wie auf dieDivision nicht näher eingehen. Es mögen 2 Beispiele genügen:

A) 3/5 * 7/4 = (3*5)/(7*4) = 15/28 (Man multipliziert einzeln, d.h. Z*Z und N*N!)

B) 4/9 : 6/7 = 4/9 *7/6 = (4 *7)/(9 *6) = 36/42 (Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert. 7/6 heisst Kehrwert von 6/7.)

Doppelbrüche

Ein Bruch der Form( 3/4 )/(4/5) heisst Doppelbruch.

Die Berechnung wird ganz einfach, wenn man sich das so geschrieben denkt: 3/4 : 4/5 !

Es gibt auch die Formen 3/ (2/5) oder (7/8)/3 .

Dann denke man sich jeweils die 3 = 3/1!(oder 3 ganze Kuchen!)

3/(2/5) wird zu: (3/1)/(2/5)= (3/1) :(2/5) = (3/1) * (5/2) = 15/2;

(2/5)/3 wird zu (2/5) / (3/1)= (2/5) * (1/3)= 2/15!

Verwandeln von Brüchen in Dezimalbrüche und umgekehrt.

Einen Bruch Z/N verwandle ich in einen Dezimalbruch, indem ich einfach Z : N rechne.

Einen Dezimalbruch verwandle ich folgendermassen in einen Bruch:

1) Wieviel Stellen stehen hinter dem Komma? Schreibe in den Nenner N eine "1" und dahinter die entsprechende Zahl "Nullen". Trage jetzt die Zahlen in den Zähler ein. Nullen vorndran werden weggelassen. danach kann gegebenenfalls noch gekürzt werden.

Beispiele

Einige periodische Brüche

Mehr dazu hier undhier