MATHE - Aufgabenberater
ANALYSIS _Anwendungen
1)Extremwertaufgaben
Grundprinzip:
Im Aufgabentext wird angegeben, welche Größe optimiert werden soll. Diese hängt von zwei Variablen ab (hier a und b genannt), deren Definitionsbereiche jeweils vorab ermittelt werden MÜSSEN. Für diese Größe muß die ZIELFUNKTION Z (a,b) aufgestellt werden. Im Resttext versteckt sich eine weitere Funktion, die einen Zusammenhang zwischen a und b liefert. diese heisst NEBENBEDINGUNG und ist am besten in einer Skizze zu finden. Bei der Aufstellung der Nebenbedingungen treten immer die gleichen Methoden auf: Strahlensatz, Satz des Pythagoras, Flächen-, Körper- und Umfangsformeln. Daraus wird eine der beiden Variablen isoliert. Das Ergebnis wird dann in Z eingesetzt, so dass aus Z (a,b) nur noch Z(a oder b ) wird. Dieses Z wird dann mit den Mitteln der Kurvensiskussion untersucht. Man bildet Z´ = 0 und erhält somit die gewünschten Extremwerte davon, aus denen dann alles weitere folgt, was noch gefragt sein könnte.
Wichtig: Liegen die Ergebnisse auch in den zugehörigen Definitionsbereichen?
Variatione: Manchmal kann statt Z auch Z² betrachtet werden.
Beispiele:
1) Welches Rechteck mit dem Umfang U hat den größten Flächeninhalt F?
Zielfunktion ist F(a,b), Nebenbedingung ist U(a,b)
2)Einem Kreis mit dem Radius r soll ein Rechteck mit möglichst großem Umfang einbeschrieben werden.
U(r,x) ist Zielfunktion, die Nebenbedingung liefert der Satz des Pythagoras (Skizze!)